rvalue_daily/81 溶液

$S_n$ 的递推式的形式

\begin{aligned}<br>&2S_n=a_n+\frac 1 {a_n} \\<br>\Rightarrow&2S_n=S_n-S_{n-1}+\frac 1{S_n-S_{n-1}} \\<br>\Rightarrow&S_n+S_{n-1}=\frac 1{S_n-S_{n-1}}\\<br>\Rightarrow&S_n^2-S_{n-1}^2=1<br>\end{aligned}

$a_1=1$ $a_n>0$ $S_n=\sqrt n$ .

$\frac 1 {\sqrt n}$ 的和.

数形结合一下, 我们会发现和式中的某一项会满足下面的关系:

\int_{n}^{n+1}\frac 1 {\sqrt x}\mathrm dx<\frac 1 {\sqrt n}< \int_{n-1}^n\frac 1 {\sqrt x}\mathrm dx

利用这个关系, 我们可以求出题中所给的式子的过剩近似与不足近似.

而我们可以轻易地知道:

\int \frac 1{\sqrt x}\mathrm dx=2\sqrt x+C

所以我们就会有:

2\sqrt {n+1}-2\sqrt n <\frac 1 {\sqrt n}<2\sqrt n-2\sqrt{n-1}

$18$ .